Resume chapter 4 - Finite Volume Method for Diffusion Problems

Finite Volume Methode for Diffusion Problems

Difusi merupakan fenomena aliran fluida dari konsentrasi yang lebih tinggi ke konsentrasi yang lebih rendah. Biasanya terdapat lebih dari satu jenis fluida. Perbedaan konsentrasi yang ada pada dua larutan disebut gradien konsentrasi. Difusi akan terus terjadi sampai tercapaai keadaan setimbang (steady) dimana walaupun tetap ada perpindahan molekul, tetapi tidak terjadi perpedaan konsentrasi.

Persamaan di atas merupakan persamaan diskritisasi. Untuk mendapatkan solusi dari persamaan tersebut, diperlukan pendekatan aproksimasi.

Untuk menggambarkan fenomena aliran fluida, selain menggunakan governing equation dapat juga digunakan metode volume hingga (finite volume method). Disini, kita akan mengasumsikan peristiwa difusi dengan metode volume hingga (finite volume method) dan dalam keadaan tunak pada domain satu dimensi.

1. Finite volume method for one-dimensional steady state diffusion

Langkah-langkah penyelesaian kasus difusi:

·         Step 1 : Grid generation

Membagi daerah domain menjadi daerah yang terkontrol (dalam bentuk grid/mesh). Untuk mengontrol domain tesebut, kita membuat titik-titik (node) didalam domain tersebut yang akan menjadi fokus perhatian kita.

• Step 2 : Discretisation

Finite volume method mengintegrasikan persamaan atur sehingga menghasilkan persamaan diskrit untuk node P

Dimana A merupakan luas penampang dari finite volume. ΔV merupakan volume, dan Ṡ merupakan nilai rata-rata dari sumber S (kecepatan, tekanan, temperatur, dll) pada finite volume. Untuk menghitung gradien dϕ/dx, digunakan pendekatan aproksimasi linier dengan menggunakan karakteristik yang ada, yaitu Γ :

Dengan memisalkan ϕ_W, ϕ_E, dan ϕ_P sebagai a_W, a_E, dan a_E, maka persamaan di atas dapat ditulis sebagai :

• Step 3 : Solution of equations

Hasil dari penyelesaian persamaan aljabar yang dilakukan digunakan untuk mendapatkan distribusi dari properties ϕ pada setiap titik.

2. Finite volume method for two-dimensional steady state diffusion

Metode yang digunakan untuk menurunkan persamaan diskritisasi pada kasus satu dimensi dapat juga diterapkan pada kasus dua dimensi.

Penyelesaian kasus difusi dua dimensi dapat diselesaikan dengan cara-cara yang sama pada penyelesaian kasus satu dimensi. Berikut adalah pembuatan grid dua dimensi dan pengaturan node yang ada di dalam nya.

Persamaan diskrit untuk difusi dua dimensi dalam keadaan tunak adalah :

Dengan membuat seluruh koefisien dalam bentuk a,maka dapat dibentuk persamaan :

dimana,

3. Finite volume method for three-dimensional steady state diffusion

Governing equation:

Grid dalam bentuk tiga dimensi :

Seperti penjelasan sebelum nya, seluruh koefisien diubah kedalam bentuk a, sehingga dapat dibentuk persamaan :

Summary

Bentuk umum dari persamaan diskrit untuk kasus difusi satu dimensi, 2 dimensi, ataupun 3 dimensi adalah :

·

Referensi :

Versteeg H.K., Malalasekera W. “Introduction to computational fluid dynamics : The finite volume method”, Longman – Loughborough. 1995.

Posted in: Finite Volume Methode for Diffusion Problems,metode volume hingga